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\documentclass[12pt,t,aspectratio=169,mathserif]{beamer}
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\begin{document}

\title{高等代数一}
\subtitle{19-极大线性无关组-向量组的秩-等价的向量组}
%\institute{上海立信会计金融学院}
\author{{\ppr LQW}}
%\renewcommand{\today}{{\ppr \number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日} }
\date{{\ppr 2022年11月24日} }

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{内容提要 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item 向量组的极大线性无关组
\item 向量组的秩
\item 等价的向量组
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{19.1. 极大线性无关组的概念}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item {\color{red}定义：向量组 $\Phi =\{\alpha_1,\cdots,\alpha_m\}$ 的一个极大线性无关组，是指这个向量组的一个子集 $\Phi_1 =\{\alpha_{i_1},\cdots,\alpha_{i_r}\}$, 其中指标 $1\le i_1<\cdots<i_r\le m$, 满足下述两个条件，}
\begin{enumerate}
\item {\color{red}向量组 $\Phi_1$ 是线性无关的。}
\item {\color{red}对任意向量 $\alpha\in \Phi-\Phi_1$, 向量组 $\Phi_1\cup \{\alpha\}$ 是线性相关的。}
\end{enumerate}

\item 例子1：设有向量组 $\Phi =\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$. 
\begin{enumerate}
\item  当向量组 $\Phi$ 线性无关时，$\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 是极大线性无关组。
\item  当 $\Phi$ 线性相关但 $\Phi_1=\{\alpha_1,\alpha_2\}$ 线性无关时，$\Phi_1$  是极大线性无关组。
\item  当 $\alpha_1$ 不是零向量，而另两个向量是其倍数时，$\{\alpha_1\}$  是极大线性无关组。
\item  当这三个向量都是零向量时，极大线性无关组是空集 $\varnothing$.
\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}

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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{18.2. 极大线性无关组的例子}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item 例子2：设 $V=\mathbb{R}^3$, 求向量组 $\Phi=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 的极大线性无关组：
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\alpha_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \,\,
\alpha_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \,\,
\alpha_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}

\item 解答： 因为向量组 $\Phi$ 线性相关，而向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2\}$ 线性无关，所以 $\{\alpha_1,\alpha_2\}$ 是 $\Phi$ 的一个极大线性无关组。同理， $\{\alpha_1,\alpha_3\}$ 与 $\{\alpha_2,\alpha_3\}$ 也都是 $\Phi$ 的极大线性无关组。

\item 注：在这个例子中，极大线性无关组不是唯一的，但是所有极大线性无关组都正好有两个向量。
%我们称向量组 $\Phi$ 的秩等于2，写成符号为 $R(\Phi)=2$ 或 $R(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=2$. 

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{19.3. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item 上一页的例子中，向量组 $\Phi$ 是线性相关，因为可以找到一个非平凡的（也就是系数不全为零的）线性组合，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
+\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
-\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}

\item 而向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2\}$ 是线性无关的，因为如果有
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
k\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
+m\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},
\end{eqnarray*}
}
那么只能有 $k=0,m=0$. 


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{19.4. 向量组的秩}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item {\color{red}定义：向量组的秩，是指这个向量组的任意一个极大线性无关组所包含的向量的个数。向量组 $\Phi=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_m\}$ 的秩记为 $R(\Phi)$. }

\item 例子3：设 $\alpha$ 不是零向量，求向量组 $\Phi = \{\alpha,2\alpha,5\alpha,9\alpha\}$ 的秩。
\item 解答：
\begin{enumerate}
\item 首先 $\Phi_1=\{\alpha\}$ 是线性无关的，这是因为 $k\alpha=\theta \Rightarrow k=0$.
\item 其次在$\Phi_1$ 中再增加其余向量都是线性相关的，
\begin{itemize}
\item[2.1.] $\Phi_2=\{\alpha,2\alpha\}$ 是线性相关的。
\item[2.2.] $\Phi_3=\{\alpha,5\alpha\}$ 是线性相关的。
\item[2.3.] $\Phi_4=\{\alpha,9\alpha\}$ 是线性相关的。
\end{itemize}
\item 所以 $\{\alpha\}$ 是 $\Phi$ 的极大线性无关组。
\item 因为向量组 $\Phi$ 的极大线性无关组只包含1个向量，所以 $R(\Phi)=1$. 
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{19.5. 定理}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item {\color{red}定理：向量组的任意两个极大线性无关组所包含的向量个数是相等的。}

\item 证明：
\begin{enumerate}
\item 设 $\Phi_1$ 与 $\Phi_2$ 都是 $\Phi$ 的极大线性无关组。
\item 证明 $L(\Phi_1) = L(\Phi) = L(\Phi_2)$. 
\item 设向量组 $\Phi_1$ 与 $\Phi_2$ 所包含的向量个数分别为 $r$ 与 $s$. 
\item  反证法。若 $r<s$. 则可证向量组 $\Phi_2$ 是线性相关的。
\end{enumerate}

\item 注：这个定理保证了向量组的秩是定义是不会自相矛盾的。

\end{itemize}

\end{frame}

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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{19.6. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item   例子4：设 $L(\alpha_1, \alpha_2)=L(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$, 则向量组 $\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}$ 线性相关。

\item 证明：
\begin{enumerate}
\item  由线性张成的子空间的定义，可知存在系数 $k_1,k_2,m_1,m_2,n_1,n_2$ 使得 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{rcl}
\beta_1 &=& k_1\alpha_1+k_2\alpha_2, \\ 
\beta_2 &=& m_1\alpha_1+m_2\alpha_2, \\ 
\beta_3 &=& n_1\alpha_1+n_2\alpha_2. 
\end{array}\right. 
\text{ 即 }
\begin{pmatrix}\beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} k_1 & m_1 & n_1 \\ k_2 &m_2 & n_2 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}

\item  由下述线性方程组存在非零解向量，可得向量组  $\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}$ 线性相关，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} k_1 & m_1 & n_1 \\ k_2 &m_2 & n_2 \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} 
=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}.  
\end{eqnarray*}
}

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{19.7.  }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item 例子5：求下述向量组的一个极大线性无关组，并求它的秩， 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\Phi = \{ (2,-1,3,2),\,\, (-1,2,2,3),\,\, (3,-1,2,2),\,\, (1,1,5,5) \}. 
\end{eqnarray*}
}
\item 解答：记 $\Phi=\{\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\}$, 先按列向量的方式将这个向量组排列成矩阵，然后用行初等变换化为行最简形，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\Phi = \begin{pmatrix} 2&-1&3&1 \\  -1&2&-1&1 \\  3&2&2&5 \\  2&3&2&5  \end{pmatrix}
\xrightarrow[\text{}]{\text{行初等变换}}
\begin{pmatrix} 1&0&0&1 \\ 0&1&0&1 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&0  \end{pmatrix}
%=\begin{pmatrix} \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 & \beta_4  \end{pmatrix}
= \Psi.
\end{eqnarray*}
}
由向量组 $\Psi$ 的前三个列向量线性无关，第四个列向量等于前两个列向量的和，可得向量组 $\Phi$ 也有同样的性质。所以 
$\Phi_1=\{\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3\}$ 是 $\Phi$ 的一个极大线性无关组，并且因为 $\Phi_1$ 包含3个向量，所以 $R(\Phi)=3$.  

\end{itemize}

\end{frame}

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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{19.8. 寻找极大线性无关组的几种方法}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item  从全集开始，依次删除这个向量组的向量，每次都判断是否线性无关。保留线性无关的向量组。（如例子2）
\item  从空集开始，依次添加这个向量组的向量，每次都判断是否线性无关。保留线性无关的向量组。（如例子3）
\item  如果向量空间是 $\mathbb{R}^n$, 先将向量组按列向量的方式排列成一个矩阵，然后用行初等变换，化成行阶梯形或行最简形。（如例子5）
\item  如果是抽象的向量空间，直接使用方法1或2，或者先建立与 $\mathbb{R}^n$ 的一个同构，再使用方法3.  

\end{enumerate}


\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{19.9. 寻找极大线性无关组的方法3的原理 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}原理：将 $\mathbb{R}^n$ 的向量组按列向量的方式排列成一个矩阵，则}
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}行初等变换相当于在左边乘以初等矩阵。}
\item  {\color{red}线性组合相当于在右边乘以系数列向量。}
\end{enumerate}

\item  例子6：设 $\{\beta_1, \beta_2, \beta_3\}$ 是列向量空间 $\mathbb{R}^4$ 中的一个向量组，则有 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}\beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} 
=\theta
\hspace{0.3cm} 
\Leftrightarrow 
\hspace{0.3cm} 
\begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ k&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}\beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} 
=\theta. 
\end{eqnarray*}
}
从这里可以看出，对矩阵\, {\footnotesize $B=\begin{pmatrix}\beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \end{pmatrix}$} 来说，它的列向量组 $\{\beta_1, \beta_2, \beta_3\}$ 的线性性质不会因为对它做了行初等变换而改变。
\end{itemize}

\end{frame}

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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{19.10. 等价的向量组 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item {\color{red}定义：两个向量组相互等价，是指这两个向量组的向量可以相互表示。设 $\Phi=\{\alpha_1, \cdots,\alpha_m\}$ 以及 $\Psi=\{\beta_1, \cdots,\beta_n\}$, 则存在系数 $k_{is}$ 与 $\ell_{jt}$ 使得
\begin{eqnarray*}
\alpha_i &=& k_{i1}\beta_1 + \cdots + k_{in}\beta_n,\,\,\, 1\le i\le m, \\ 
\beta_j &=& \ell_{j1}\alpha_1 + \cdots + \ell_{jm}\alpha_m, \,\,\, 1\le j\le n.   
\end{eqnarray*}
 }

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{19.11. 等价的向量组的例子}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item 例子7：判断向量组 $\Phi=\{\alpha_1,\alpha_2\}$ 与 $\Psi=\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}$ 是否相互等价：
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\alpha_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \,\, 
\alpha_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \,\,\,\,\,\,  
\beta_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \,\, 
\beta_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \,\, 
\beta_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}
\item 解答：因为这两个向量组的向量可以相互表示如下，所以它们是等价的，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{l}
\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2, \\  
\beta_2 = \alpha_1 - \alpha_2, \\  
\beta_3 = 2\alpha_1 + 3\alpha_2, 
\end{array}\right.
\hspace{0.5cm}
\left\{\begin{array}{l}
\alpha_1 = \frac{1}{2} \beta_1 + \frac{1}{2}\beta_2 + 0\beta_3, \\  
\alpha_2 = \frac{1}{2}\beta_1 +(-\frac{1}{2})\beta_2 + 0\beta_3. 
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
}
\item 注：上述左边三个等式说明 $\beta_j\in L(\alpha_1,\alpha_2)$, 即 $\Psi \subseteq L(\Phi)$, \\
右边两个等式说明 $\alpha_i\in L(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$, 即 $\Phi \subseteq L(\Psi)$. \\

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{19.12. 等价的向量组的几何意义 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item {\color{red}定理：两个向量组相互等价，当且仅当它们张成的子空间是同一个，即
$$\text{ 向量组 }\,\, \Phi \text{ 与 } \,\, \Psi \text{ 等价 }\Leftrightarrow L(\Phi)=L(\Psi).$$
}
\item 证明思路：
\begin{itemize}
\item 左 $\Rightarrow$ 右： 根据等价与张成的子空间的定义，验证两个子集相等。
\item 右 $\Rightarrow$ 左： 验证等价的定义条件。
\end{itemize}

\vfill 

\item 例子8：在例子7中，向量组 $\Phi=\{\alpha_1,\alpha_2\}$ 与 $\Psi=\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}$ 张成了同一个子空间，即 $L(\Phi)=L(\Psi)=Oxy$ 平面。

\end{itemize}

\end{frame}

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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{19.13. 课堂练习 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  求 $V=\mathbb{R}[x]$ 中的向量组 $\Phi$ 的一个极大线性无关组，并求它的秩：
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\Phi = \{ x,\,\, 1+x,\,\, x(1+x),\,\, 1+x(1+x) \}. 
\end{eqnarray*}
}


\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{19.14. 课堂练习答案 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  解答思路：这是由多项式组成的向量空间。
%这个向量组里的多项式的最高次数是3，所以只需
考虑由次数不超过3的多项式组成的向量子空间 $W=\mathbb{R}[x]_3$, 建立向量空间的同构 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\mathbb{R}[x]_3 &\leftrightarrow& \mathbb{R}^4, \\ 
a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 &\leftrightarrow& (a_0,a_1,a_2,a_3). 
\end{eqnarray*}
}
问题转化为考虑 $\mathbb{R}^4$ 中的下述向量组，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\Psi = \{ (0,1,0,0), \,\, (1,1,0,0),\,\, (0,1,1,0), \,\, (1,1,1,0) \}. 
\end{eqnarray*}
}
求得其秩为3. 向量组 $\Psi$ 中的任意三个向量都是 $\Psi$ 的极大线性无关组。

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}


